Éditions H&K

Les équations différentielles pour les débutants

couverture

Public : étudiants en sciences (L1 et L2), prépas scientifiques

Caractéristiques : 19,90 € • 160 pages • Format 17 × 25 cm • Paru le 10 août 2013 • Imprimeur certifié FSC

Couverture cartonnée

Spirales

Auteur : Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

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Pages d'introduction
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Avant-propos
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Table des matières
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Têtes de chapitre
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Le livre

Les équations différentielles servent à calculer l'évolution d'un système, c'est-à-dire à prédire l'avenir. C'est pourquoi il s'agit d'outils incontournables dans tant de domaines aussi bien théoriques que pratiques.

Une équation différentielle est d'abord... une équation, avec un signe égal et des membres de part et d'autre. Sa particularité est de faire intervenir au moins une dérivée. La fonction recherchée est généralement notée y afin de la distinguer d'une variable (x) et d'une fonction donnée d'avance (f). Dans cet ouvrage, la variable dont dépend y est notée t en référence au temps.

Cet ouvrage ne suppose aucune connaissance sur les équations différentielles, seulement le bagage standard d'un étudiant qui ne s'est pas détourné des mathématiques en terminale. Il reprend le sujet à zéro et explique pas à pas, avec de nombreux dessins, ce qu'il faut comprendre et retenir.

Il couvre le programme des deux premières années post-bac.

Vous apprenrez notamment :

  • les équations linéaires scalaires du 1er ordre à coefficients constants
    y'(t) = 0
    y'(t) = y(t)
    a y'(t) + b y(t) = 0
    a y'(t) + b y(t) = c(t)
  • les équations linéaires scalaires du 1er ordre à coefficients fonctions continues
    a(ty'(t) + b(ty(t) = c(t)
  • les équations linéaires scalaires du 2e ordre à coefficients constants
    y''(t)=0
    a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = 0
    a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = d(t)
    a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = P(t)
    a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = eαt P(t)
    a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = cos(αt) P(t)
  • les équations linéaires scalaires du 2e ordre à coefficients fonctions continues
    a(ty''(t) + b(ty'(t) + c(ty(t) = d(t)
  • les systèmes différentiels du 1er ordre à coefficients constants
    X'(t) = A X(t)
    X'(t) = A X(t) + b(t)
    X'(t) = A X(t) + td eαt u_0
  • les équations différentielles non linéaires
    y'(t) = g(t)h(y(t))
    y'(t) = f(t,y(t))
    X'(t) = f(t,X(t))
  • la méthode d'Euler
  • et toutes les techniques : variation de la constante, wronskien, exponentielle de matrice...

Ce cours illustré est le fruit de dizaines d'années d'expérience de l'enseignement à tous les niveaux, aussi bien avant qu'après le bac. L'auteur n'est pas seulement un mathématicien reconnu, il est aussi un pédagogue qui sait se mettre à la portée de tous.

Le public

Cet ouvrage s'adresse à tous ceux qui ont besoin de comprendre et de manipuler les équations différentielles, soit principalement les étudiants de premier cycle en mathématiques, physique, chimie, biologie et économie, ainsi que les élèves des classes préparatoires en sciences (MPSI, PCSI, PTSI, BCPST) et en économie (ECG).

L'auteur

Jean-Baptiste Hiriard-Urruty est professeur de mathématiques à l'université Paul Sabatier de Toulouse. Ses recherches portent l'analyse variationnelle et l'optimisation. Il est également passionné par la formation des jeunes et toutes les formes de transmission des savoirs.

Sa page Wikipedia contient plus d'informations.

Témoignages de lecteurs

Que l'on soit affligé ou optismite, on ne peut que constater que les élèves sortent désormais de terminale sans avoir résolu la moindre équation différentielle. Certains collègues s'apitoyent, d'autres rassemblent leurs forces pour remédier à ces lacunes. Indéniablement, Jean-Baptiste Hiriart-Urruty fait partie de la seconde catégorie et il propose avec Les équations différentielles pour les débutants de reprendre toutes les bases pour amener un lycéen d'aujourd'hui au niveau des exigences d'un premier cycle scientifique. Conformément à ses habitudes, il adopte un parti pris assez clair : simplicité, pédagogie et rigueur.

Sept chapitres composent ce manuel : les équations linéaires à coefficients constants, les équations linéaires à coefficients continus, les systèmes linéaires à coefficients constants, les systèmes linéaires à coefficients constants de taille 2, une introduction aux équations non linéaires et enfin la méthode d'Euler pour illustrer les aspects numériques de l'étude des équations différentielles. Ce plan ne surprendra pas les enseignants (même s'il est ambitieux) sauf peut-être le chapitre 5 sur le cas des systèmes de taille 2. L'auteur a en effet décidé d'insister sur ce cas particulier où les calculs de l'exponentielle de matrice sont élémen taires, de montrer les liens avec le premier chapitre pour la classification des systèmes.

Le strict respect du programme (sauf une mention de la réduction de Jordan dans le calcul des exponentielles de matrices) entraîne que certains compléments (notamment sur les séries entières ou sur le théorème de Cauchy dans le cas matriciel) sont reportés dans des annexes indépendantes en fin de chapitre.

En conclusion, ce livre est un outil intéressant et l'éditeur H&K a produit un effort de réalisation : une reliure spiralée pour pourvoir maintenir le livre à plat malgré ses 160 pages et une couverture cartonnée épaisse (qui couvre la spirale) permettent un usage tout-terrain de ce livre. Espérons que cet ouvrage ne restera pas seul dans son genre et que d'autres chapitres délaissés dans le secondaire feront l'objet de telles initiatives.

Critique parue dans le numéro de janvier 2013 du magazine Quadrature

5 étoiles Excellent ouvrage pour débutant ou pour l'enseignement

C'est l'ouvrage d'un enseignant et cela se remarque dès les premières pages. Cet ouvrage est une très bonne introduction aux équations différentielles qui avec les nombres complexes sont le point d'achoppement de nombreux étudiants en physique ou en électronique. L'auteur a eu l'intelligence de remplacer la variable x par t, signe que cet ouvrage sera plutôt destiné à des techniciens ou à des physiciens, ils seront infiniment moins déroutés ainsi. Il est notoire que les physiciens et électroniciens entretiennent avec les mathématiques une relation plus opérationnelle. Il ne s'agit pas d'un ouvrage de mathématiques mais plutôt de mathématiques appliquées à la physique. De ce point vue il s'apparente à bien des égards à la philosophie des ouvrages anglo-saxons. Une très bonne référence pour débuter.

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5 étoiles Excellente entrée en matière (cours), manque un peu d'exercices

Très bon livre pour se (re)mettre à niveau ; un vrai talent de pédagogue qui va du simple pour arriver au compliqué sans perdre ses passagers (merci)... et très peu de coquilles (ce qui par les temps qui courent est très rare !!) ; de plus on sent un cours utilisé pendant plusieurs années auprès de ses étudiants : clair, erreur type, questionnement du lecteur, étalement de la charge de compréhension... bref enfin un livre clair sur un sujet délicat !

Un seul regret : ça manque un peu d'exercices ... pourquoi pas un « livre compagnon » de celui-ci avec de nombreux « exercices caractéristiques » (bien) corrigés (clin d'œil à l'auteur) ?

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5 étoiles Très bien

Impeccable, ca m'a permis d'avoir ma note en équadif.

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