Mathématiques pour la physique et les physiciens – 5^e édition

Ce livre pédagogiquement excellent ne se contente pas de couvrir ce dont les étudiants en physique et en ingénierie ont besoin en Licence et en Master, il va aussi plus loin en incluant des pans importants des mathématiques modernes que l'on ne trouve pas généralement dans les ouvrages de ce type – notamment l'intégrale de Lebesgue, la théorie des distributions, la théorie des probabilités et la géométrie différentielle. Il traite les chapitres d'une manière à la fois rigoureuse et agréable, en adoptant le point de vue d'un physicien, et contient même des encarts historiques qui montrent à l'étudiant que les mathématiques ne sont pas une science poussiéreuse. C'est un excellent choix pour servir de support de cours ou pour compléter la bibliothèque de l'honnête physicien.

Comme beaucoup d'entre nous qui enseignons un cours de mathématiques pour la physique à des étudiants de physique, Walter Appel – qui a enseigné un cours de ce type à l'École Normale Supérieure de Lyon pendant plusieurs années – fut confronté au choix d'un support de cours qui ne soit ni trop léger ni trop peu précis du point de vue mathématique, ni trop spécialisé. Ce livre est l'élégante réponse de Walter Appel à ce dilemme. Les étudiants en physique de niveau Master en profiteront grandement.

Mathématiques pour la physique et les physiciens propose un exposé enchanteur de nombreux concepts importants, y compris des sujets qui ne sont pas abordés dans les livres usuels. Walter Appel a trouvé un excellent équilibre entre la rigueur mathématique et les applications physiques, et le livre est saupoudré de brèves notices biographiques de mathématiciens et de problèmes illustratifs. J'aurais aimé qu'un livre de ce type soit disponible lorsque j'étais étudiant.

Un ami m'a ramené ce livre lors d'une visite chez nous. Il ne m'a pas fallu 10 minutes pour comprendre que je tenais entre les mains le meilleur livre sur les mathématiques pour physiciens jamais publié en France. Ce livre se distingue par le choix de ses sujets, l'ordre et les articulations entre les sujets, la pédagogie dont l'auteur fait un usage immodéré pour le bonheur de tous. J'ajouterais encore un agrément de lecture incroyable (format, croquis, équation, illustrations, ...). On a envie de prendre ce livre dans ses mains juste pour le plaisir de regarder ses pages. Bref ce livre est un pur bonheur.

Bravo pour ce bel ouvrage !

Il y a une loi, si ce n'est une loi physique, qui établit que chaque fois que l'on utilise une technique mathématique standard dans un problème de physique, c'est d'un cas particulier ou bien d'un argument fondamental que l'on a besoin. Rien n'est jamais direct ! Pour une telle situation, ce livre est idéal. Il présente des définitions claires ainsi que les justifications de ces définitions. L'étendue des sujets introduits est trop vaste pour être décrite ici en détail, mais je vais souligner quelques exemples qui m'ont particulièrement intéressé, tout en dégageant un panorama des notions abordées.

Le style de l'ouvrage est très lisible ; de plus, d'intéressants encarts biographiques des mathématiciens associés aux notions offrent une petite halte au sein des profondeurs de l'analyse.

L'ouvrage commence par une discussion sur les suites et les séries (séries entières et séries asymptotiques). Le début de ce chapitre donne le « ton » général du livre en introduisant et en discutant deux paradoxes, illustrant l'idée que des doubles limites ne peuvent en général pas être permutées. Suit une discussion sur la théorie de l'intégration, une des plus simples et néanmoins rigoureuses présentations que j'aie lue sur l'intégrale de Lebesgue et de Riemann, la théorie de la mesure et les boréliens. Ensuite est présentée l'« intégrabilité en pratique », pour poursuivre par l'analyse complexe. Ce chapitre est plus standard mais néanmoins très bien écrit, avec des définitions particulièrement claires des fonctions holomorphes et harmoniques. La théorie des résidus est examinée, et on donne les définitions des fonctions multivaluées, des coupures et des surfaces de Riemann. Encore une fois, la clarté de l'exposé est admirable ; il y a une discussion particulièrement intéressante de la méthode du col pour l'approximation asymptotique d'intégrales.

Un des sujets qui m'intéressait le plus était l'analyse de Fourier et la théorie des distributions. La théorie des distributions est introduite au départ avec un point de vue physique avant d'être traitée rigoureusement. Des références aux fondateurs (Schwartz et Gelfand) apparaissent, mais il est dommage que les travaux postérieurs de Lighthill soient absents, qui auraient donné un point de vue différent. Il y a une discussion, claire et détaillée, de la valeur principale des intégrales et des notations de Feynman. Vient ensuite une introduction aux espaces de Hilbert et aux espaces fonctionnels, qui mène aux transformations intégrales, vues aussi bien du point de vue des fonctions que des distributions. Des applications physiques sont présentes d'un bout à l'autre. Notamment, le chapitre sur l'optique physique et les propriétés de la fonction delta de Dirac est particulièrement éclairant. Les transformées de Laplace et transformées en z sont également expliquées.

De plus, comme on peut s'y attendre dans un livre de physique mathématique, l'appareillage théorique nécessaire à la mécanique quantique est traité en détail. Le principe d'incertitude pour la position et l'impulsion est présenté en exercice, et la solution est donnée. (De nombreux exercices sont corrigés.) Il y a aussi un chapitre sur les fonctions de Green, avec applications à l'équation de la chaleur et à la mécanique quantique. Ces applications montrent clairement comment les mathématiques sont utilisées, et les subtilités de la théorie, plutôt qu'une application physique proprement dite. Tout cela est suivi par des chapitres sur la théorie des tenseurs et des formes différentielles. Les symétries sont examinées dans un chapitre sur les groupes, les représentations de groupes, et les transformations infinitésimales. Une algèbre de Lie particulière (SO(3)) est examinée en détail, ainsi que le groupe SU(2) qui lui est relié et qui est à la base de la théorie des spineurs.

Au chapitre 19, on trouve une introduction à la théorie des probabilités. On y définit un ensemble de nombres « aléatoires », dont le développement décimal contient statistiquement autant de 0 que de 1, de 2, etc. La probabilité qu'un nombre pris au hasard appartienne à cet ensemble est de 1, mais on ne sait en général pas prouver que ce soit le cas pour un nombre donné. Ce paradoxe est typique de ceux introduits pour illustrer les concepts. Ensuite, on introduit les concepts d'espaces probabilisés, événements indépendants, probabilités conditionnelles, ainsi que le théorème de Bayes. Les deux derniers chapitres parlent de variables aléatoires, fonctions de distributions (discrètes et continues), avec une application à la désintégration radioactive. La somme de variables aléatoires est étudiée, ce qui mène à la loi des grands nombres et au théorème central limite.

Il y a plusieurs annexes qui approfondissent quelques passages et donnent quelques démonstrations trop longues pour être exposées dans le texte.

Au final, cet ouvrage est à la fois un livre de référence et une explication pédagogique de la physique mathématique. C'est un ouvrage qui mérite de se retrouver sur bien des étagères.

Cet ouvrage est remarquable à plus d'un titre. Il aborde des pans entiers des mathématiques indispensables au physicien, dont certains sont parfois négligés ou omis dans les livres disponibles. L'exposé est remarquablement équilibré entre la rigueur souvent absente des livres ayant les mêmes objectifs et l'illustration des subtilités dans des cas concrets. La cerise sur le gâteau : les brèves notices biographiques qui émaillent le texte et en rendent la lecture divertissante.

Un très beau livre de notre collègue W. Appel, agrégé de mathématiques et docteur ès sciences physiques. Pour les mathématiciens, un panorama des mathématiques utiles aux physiciens, c'est-à-dire presque toutes les mathématiques, et pour les physiciens, une présentation sans concession car rigoureuse des mathématiques. Les concepts et les résultats sont présentés très clairement, même si bien évidemment les démonstrations ne figurent pas toujours. Au menu, après quelques rappels indispensables, l'intégrale de Lebesgue, l'analyse complexe, les transformations conformes, les distributions, les transformées de Fourier et de Laplace, les fonctions de Green, les tenseurs... et enfin des probabilités. Outre des commentaires et des figures bienvenus, des notices historiques et, on l'aura bien sûr compris, des applications physiques des notions introduites : un ouvrage à mettre vraiment entre toutes les mains !

Indispensable
Si on n'aime pas les maths pures mais qu'on aime la physique, ce livre est parfait. Bon, il faudra quand même se plonger un peu dans les équations, mais il est tellement bien écrit que ca passe tout seul.

Un livre rigoureux... pour physiciens ! Eh oui !
Ce qu'il y a de surprennant avec un tel ouvrage, qui n'est pourtant pas un pavé, mais qui est très concis, c'est qu'il s'agit de "math pour physiciens". D'habitude, lorsqu'on lit cela, on se dit forcément que c'est dépourvu de la technicité nécessaire à la rigueur et à la compréhension authentique des mathématiques, et finalement de la physique ! Ce que n'a pas ignoré Walter Appel, c'est que si l'on n'a pas compris les maths, on ne comprendra jamais la physique, "car la réalité physique nous rattrapera forcément" en épargnant toute rigueur.

Ce livre est d'une rigueur exemplaire, aussi rigoureux qu'un livre de mathématiques pour mathématiciens. Il effectue les "transitions mathématiques" des mathématiques vers les théories physiques, que l'on ne peut trouver dans aucun autre livre (surtout le chapitre "Bras, ket et toutes ces sortes de choses", qui m'a permis de comprendre que les ensemble de définitions avaient une importance cruciale en mécanique quantique, science physique qui ne manque pourtant pas d'être expérimentale...).

Je partage tout à fait les idées de Walter Apple, et je ne manque pas de tenter de connaître tout le contenu de son livre, car il m'aide énormément dans mon cursus de master de physique fondamentale.

Finalement, n'oublions pas qu'un physicien est par nature un excellent mathématicien, au sens propre du terme, c'est-à-dire avec la rigueur, et on ne peut que remercier l'auteur du travail qu'il a fourni pour nous éveiller d'un monde de la physique trop expérimental qui n'aboutira pas. Du côté de mon université, on attend avec impatience la publication d'un tel ouvrage avec d'autres sciences mathématiques. C'est qu'on en redemande encore !!

Parfait pour une L3-M1-M2 physique théorique
Un livre très intéressant et bien fait pour les matheux et non matheux. Ne vous servira à rien en L1 et L2 par contre.

Très bon
Très bel ouvrage, très complet, et complétant parfaitement un cours standard de licence. Le ton du rédactionnel est léger, humoristique, et adoucit un peu le propos forcément austère...

Beau livre
Livre très réputé, couvre les principaux sujets mathématiques de la physique. À la réception, très belle couverture avec marque-page en fil rouge. Couverture solide.

Un ouvrage très complet et très pédagogique
Un ouvrage très complet et d'une grande richesse scientifique. Avec beaucoup d'exemples pertinents et des explications claires, l'auteur en fait un livre de référence.

Une aide précieuse
Excellent bouquin, très pédagogique sans pour autant manquer de rigueur, des commentaires historiques très intéressants. Très fortement recommandé.

Génial !
Si vous avez du mal à suivre vos cours de physique niveau graduate (master) parce que les maths sont supposées acquises (transformée de Fourier, distributions, analyse complexe etc...) mais vous n'avez peut-être pas pris les cours de maths correspondants, ce livre est ce qu'il vous faut !
Je l'ai découvert sur le tard mais si je pouvais revenir en arrière je l'achèterais dès mon entrée en école d'ingé.
Des notions de maths très subtiles sont introduites avec juste ce qu'il faut de rigueur (certaines démonstrations sont omises) et avec des exemples magnifiquement illustrés qui font le lien avec la physique. Les exercices corrigés sont aussi très bien pour l'apprentissage en solitaire. Enfin le livre en lui même est une jolie pièce.

Très bon livre
C'est un très bon livre qui permet d'approcher différemment les concepts mathématiques surtout si vous êtes un pur matheux.

Très bon bouquin
J'ai acheté ce livre à ma rentrée L3 Physique car mon enseignant n'utilise que celui-ci pour écrire ses cours de maths. J'aurais pu l'emprunter à la BU mais c'est un ouvrage de très bonne facture qui trouvera facilement une place dans votre étagère et il vous servira souvent. Les cours sont très complets et les démonstrations sont claires.
Je le recommande sans hésiter.

Excellent livre
Une belle synthèse de nombre d'outils mathématiques utiles aux physiciens. Son auteur est à la fois agrégé de mathématiques et docteur ès sciences physiques, ce qui explique la pertinence de chacun des thèmes abordés.
J'ai la chance d'avoir une édition reliée de l'ouvrage. Son contenu, pointu de par sa précision mathématique, vise clairement des étudiants de niveau L3, master.