Mathématiques pour la physique et les physiciens

Motivation du cours

Pourquoi étudier les mathématiques quand on est physicien ? En dépit de la mode actuelle tendant à dévaloriser, non seulement l'utilisation, mais également la simple connaissance des mathématiques dans l'apprentissage et la pratique de la physique, je reste persuadé que les mathématiques demeurent un champ de connaissances précieux, sinon indispensable, pour l'étudiant comme pour le chercheur.

Si ceux qui voient les mathématiques seulement comme un outil - ce qu'elles sont aussi - sont légions, il est peut-être utile de rappeler que, comme le disait Galilée, le livre de la Nature est écrit dans le langage des mathématiques. (1) Depuis Galilée et Newton, les plus grands noms de la physique sont là pour montrer que la connaissance mathématique permet de comprendre et d'utiliser plus facilement des notions physiques précises, de les fonder solidement et, surtout, d'en créer de nouvelles. Outre qu'elles assurent une certaine rigueur indispensable dans la pratique scientifique, les mathématiques font également partie du langage naturel des physiciens. Même si, dans la pratique quotidienne, la règle de trois et les bases du calcul intégral et différentiel suffisent, une langue plus riche permet assurément une profondeur de pensée incomparable. On imagine mal une pièce de Shakespeare ou un roman de Gide avec un vocabulaire de cinq cents mots !

Caractéristiques de l'ouvrage

• Il suppose acquises les notions vues en premier cycle, pour se concentrer sur le deuxième et le troisième cycle.
  
  
• Il traite tous les domaines utiles au physicien et non quelques chapitres sélectionnés, tout en approfondissant les notions et en proposant de nombreuses applications.
  
  
• Les exercices qu'il propose sont nettement tournés vers la physique.
  
  
• Les mathématiques sont présentées avec toute la rigueur requise, mais sans jamais s'enrober de jargon.

L'auteur

Walter Appel est normalien, agrégé de mathématiques et docteur ès sciences physiques. Il a enseigné les mathématiques pour la physique au Magistère des sciences de la matière de l'École Normale Supérieure de Lyon. Il enseigne actuellement en classes préparatoires.

Quelques commentaires de lecteurs

« Ce livre pédagogiquement excellent ne se contente pas de couvrir ce dont les étudiants en physique et en ingénierie ont besoin en Licence et en Master, il va aussi plus loin en incluant des pans importants des mathématiques modernes que l'on ne trouve pas généralement dans les ouvrages de ce type -- notamment l'intégrale de Lebesgue, la théorie des distributions, la théorie des probabilités et la géométrie différentielle. Il traite les chapitres d'une manière à la fois rigoureuse et agréable, en adoptant le point de vue d'un physicien, et contient même des encarts historiques qui montrent à l'étudiant que les mathématiques ne sont pas une science poussiéreuse. C'est un excellent choix pour servir de support de cours ou pour compléter la bibliothèque de l'honnête physicien. »
Elliott Lieb, Princeton University

« Comme beaucoup d'entre nous qui enseignons un cours de mathématiques pour la physique à des étudiants de physique, Walter Appel -- qui a enseigné un cours de ce type à l'École Normale Supérieure de Lyon pendant plusieurs années -- fut confronté au choix d'un support de cours qui ne soit ni trop léger ni trop peu précis du point de vue mathématique, ni trop spécialisé. Ce livre est l'élégante réponse de Walter Appel à ce dilemme. Les étudiants en physique de niveau Master en profiteront grandement.
Michael Kiessling, Rutgers University

« Mathématiques pour la physique et les physiciens propose un exposé enchanteur de nombreux concepts importants, y compris des sujets qui ne sont pas abordés dans les livres usuels. Walter Appel a trouvé un excellent équilibre entre la rigueur mathématique et les applications physiques, et le livre est saupoudré de brèves notices biographiques de mathématiciens et de problèmes illustratifs. J'aurais aimé qu'un livre de ce type soit disponible lorsque j'étais étudiant. »
Andreas Brandhuber, Queen Mary, University of London

« Un ami m'a ramené ce livre lors d'une visite chez nous. Il ne m'a pas fallu 10 minutes pour comprendre que je tenais entre les mains le meilleur livre sur les mathématiques pour physiciens jamais publié en France. Ce livre se distingue par le choix de ses sujets, l'ordre et les articulations entre les sujets, la pédagogie dont l'auteur fait un usage immodéré pour le bonheur de tous. J'ajouterais encore un agrément de lecture incroyable (format, croquis, équation, illustrations, ...). On a envie de prendre ce livre dans ses mains juste pour le plaisir de regarder ses pages. Bref ce livre est un pur bonheur. »
Jean-François Maquiné (texte complet sur le site Onversity).

« Bravo pour ce bel ouvrage ! »
Élie Raphaël, Professeur associé à l'ESPCI

« Il y a une loi, si ce n'est une loi physique, qui établit que chaque fois que l'on utilise une technique mathématique standard dans un problème de physique, c'est d'un cas particulier ou bien d'un argument fondamental que l'on a besoin. Rien n'est jamais direct ! Pour une telle situation, ce livre est idéal. Il présente des définitions claires ainsi que les justifications de ces définitions. L'étendue des sujets introduits est trop vaste pour être décrite ici en détail, mais je vais souligner quelques exemples qui m'ont particulièrement intéressés, tout en dégageant un panorama des notions abordées.
Le style de l'ouvrage est très lisible ; de plus, d'intéressants encarts biographiques des mathématiciens associés aux notions offre une petite halte au sein des profondeurs de l'analyse.
L'ouvrage commence par une discussion sur les suites et les séries (séries entières et séries asymptotiques). Le début de ce chapitre donne le « ton » général du livre en introduisant et en discutant deux paradoxes, illustrant l'idée que des doubles limites ne peuvent en général pas être permutées. Suit une discussion sur la théorie de l'intégration, une des plus simples et néanmoins rigoureuses présentations que j'aie lue sur l'intégrale de Lebesgue et de Riemann, la théorie de la mesure et les boréliens. Ensuite est présentée l'« intégrabilité en pratique », pour poursuivre par l'analyse complexe. Ce chapitre est plus standard mais néanmoins très bien écrit, avec des définitions particulièrement claires des fonctions holomorphes et harmoniques. La théorie des résidus est examinée, et on donne les définitions des fonctions multivaluées, des coupures et des surfaces de Riemann. Encore une fois, la clarté de l'exposé est admirable ; il y a une discussion particulièrement intéressante de la méthode du col pour l'approximation asymptotique d'intégrales.
Un des sujets qui m'intéressait le plus était l'analyse de Fourier et la théorie des distributions. La théorie des distributions est introduite au départ avec un point de vue physique avant d'être traitée rigoureusement. Des références aux fondateurs (Schwartz et Gelfand) apparaissent, mais il est dommage que les travaux postérieurs de Lighthill soient absents, qui auraient donné un point de vue différent. Il y a une discussion, claire et détaillée, de la valeur principale des intégrales et des notations de Feynman. Vient ensuite une introduction aux espaces de Hilbert et aux espaces fonctionnels, qui mène aux transformations intégrales, vues aussi bien du point de vue des fonctions que des distributions. Des applications physiques sont présentes d'un bout à l'autre. Notamment, le chapitre sur l'optique physique et les propriétés de la fonction delta de Dirac est particulièrement éclairant. Les transformées de Laplace et transformées en z sont également expliquées.
De plus, comme on peut s'y attendre dans un livre de physique mathématique, l'appareillage théorique nécessaire à la mécanique quantique est traité en détail. Le principe d'incertitude pour la position et l'impulsion est présenté en exercice, et la solution est donnée. (De nombreux exercices sont corrigés.) Il y a aussi un chapitre sur les fonctions de Green, avec applications à l'équation de la chaleur et à la mécanique quantique. Ces applications montrent clairement comment les mathématiques sont utilisées, et les subtilités de la théorie, plutôt qu'une application physique proprement dite. Tout cela est suivi par des chapitres sur la théorie des tenseurs et des formes différentielles. Les symétries sont examinées dans un chapitre sur les groupes, les représentations de groupes, et les transformations infinitésimales. Une algèbre de Lie particulière (SO(3)) est examinée en détail, ainsi que le groupe SU(2) qui lui est relié et qui est à la base de la théorie des spineurs.
Au chapitre 19, on trouve une introduction à la théorie des probabilités. On y définit un ensemble de nombres « aléatoires », dont le développement décimal contient statistiquement autant de 0 que de 1, de 2, etc. La probabilité qu'un nombre pris au hasard appartienne à cet ensemble est de 1, mais on ne sait en général pas prouver que ce soit le cas pour un nombre donné. Ce paradoxe est typique de ceux introduits pour illustrer les concepts. Ensuite, on introduit les concepts d'espaces probabilisés, événements indépendants, probabilités conditionnelles, ainsi que le théorème de Bayes. Les deux derniers chapitres parlent de variables aléatoires, fonctions de distributions (discrètes et continues), avec une application à la désintégration radioactive. La somme de variables aléatoires est étudiée, ce qui mène à la loi des grands nombres et au théorème central limite.
Il y a plusieurs annexes qui approfondissent quelques passages et donnent quelques démonstrations trop longues pour être exposées dans le texte.
Au final, cet ouvrage est à la fois un livre de référence et une explication pédagogique de la physique mathématique. C'est un ouvrage qui mérite de se retrouver sur bien des étagères. »
Critique parue dans le journal ZentralBlatt. Elle fait référence à l'édition américaine de l'ouvrage.

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